讓我們澄清這些誤解，因為它們似乎不斷重複。 1) 功率法則本身並不表示泡沫 重申這一點是至關重要的：根據功率法則模型，沒有固有的泡沫。任何明顯的偏差（泡沫和修正）在長期內有效地相互抵消，保持了基本趨勢的完整性。 泡沫存在於更深層次並且可以被分析 雖然功率法則平滑了極端情況，但泡沫確實在數據中顯現。 通過從價格序列中減去整體功率法則趨勢，您可以孤立並研究這些偏差——它們的結構、模式和規律。 這種數據驅動的方法遠比對未來峰值的投機性猜測要優越。 2) 特徵化泡沫： 指數衰減方法 有幾種技術可以用來建模這些泡沫。一種可靠的方法觀察到，從峰值高點的衰減通常遵循指數模式。如果這種衰減持續存在，則表明下一個泡沫可能會偏離功率法則趨勢約80%。例如，如果功率法則預測年末的參考水平約為130K（這是周期頂部的常見點），這意味著潛在的峰值接近200K。或者，您可以將其視覺化為一個“衰減通道”，隨著時間的推移限制頂部。 3) 用於建模偏差的分位數回歸 另一種方法使用分位數回歸來建模與功率法則的偏差。我在我的一篇文章中詳細討論了這種方法的優缺點（鏈接在評論中）。它的優勢在於不需要對頂部進行明確的衰減假設。然而，一個主要的缺點是它直接將功率法則擬合到峰值，這可能會高估可能的偏差。 這就是為什麼像@TheRealPlanC的模型往往預測比我的模型更高的頂部。 4) 帶衰減的混合分位數模型 為了解決限制，您可以通過納入明確的衰減組件來增強分位數方法，如我在文章中所述。這種混合模型結合了衰減通道（現實的峰值邊界）和分位數回歸（靈活處理數據分佈）的優勢，產生更平衡的估計。 5) 對Bitbo方法的批評（功率法則擬合頂部或功率法則走廊） Bitbo方法只是直接將功率法則擬合到歷史頂部，這一想法最早由@hcburger1提出，以估計潛在範圍（他稱之為功率法則走廊）。走廊的底部是有效的，並且有堅實的統計支持。但頂部則不然。 雖然我與他進行了廣泛的討論，但這不是最佳方法——這類似於分位數回歸，但劣於它，因為它假設一個簡單的功率法則支配頂部。 實際上，只有數據的下50百分位數嚴格遵循功率法則；頂部表現出更複雜的行為。這導致不可靠和過高的估計。 我希望這一分析能澄清這些方法之間的區別。 總的來說，請記住，對泡沫偏差的預測本質上比核心功率法則趨勢本身更難以預測。功率法則仍然穩健，隨著數據的增加而增強，作為基礎參考。 特定周期的偏差雖然有用，但是次要的，並不是理論的核心——它們依賴於功率法則作為背景，並帶有更高的不確定性。