让我们澄清这些误解，因为它们似乎一再重复。 1) 幂律本身并不表明存在泡沫 必须反复强调这一点：根据幂律模型，没有固有的泡沫。任何明显的偏差（泡沫和修正）在长期内实际上会相互抵消，保持基础趋势不变。 泡沫在更深层次上存在，可以进行分析 虽然幂律平滑了极端情况，但泡沫确实在数据中表现出来。 通过从价格序列中减去整体幂律趋势，您可以孤立并研究这些偏差——它们的结构、模式和规律。 这种数据驱动的方法远胜于对未来峰值的投机性猜测。 2) 特征化泡沫： 指数衰减法 有几种技术可以建模这些泡沫。一种可靠的方法观察到，从峰值高点的衰减通常遵循指数模式。如果这种衰减持续存在，则表明下一个泡沫可能会偏离幂律趋势约80%。例如，如果幂律预测年末的参考水平约为130K（周期顶部的常见点），这意味着潜在的峰值接近200K。或者，您可以将其可视化为一个“衰减通道”，在时间上限制顶部。 3) 用分位数回归建模偏差 另一种方法使用分位数回归来建模与幂律的偏差。我在我的一篇文章中详细讨论了这种方法的优缺点（链接在评论中）。它的优点是它不需要对顶部进行明确的衰减假设。然而，一个关键的缺点是它直接将幂律拟合到峰值，这可能会高估可能的偏差。 这就是为什么像@TheRealPlanC的模型往往预测比我的模型更高的顶部。 4) 带衰减的混合分位数模型 为了解决局限性，您可以通过结合明确的衰减组件来增强分位数方法，如我在文章中所述。这种混合模型结合了衰减通道（对峰值的现实限制）和分位数回归（灵活处理数据分布）的优点，从而产生更平衡的估计。 5) 对Bitbo方法的批评（幂律拟合顶部或幂律走廊） Bitbo方法只是直接通过历史顶部拟合幂律，这是@hcburger1首次提出的想法，用于估计潜在范围（他称之为幂律走廊）。顺便说一下，走廊的底部是有效的，并得到了坚实的统计支持。但顶部则不是。 虽然我与他进行了广泛的讨论，但这并不是最佳方法——这类似于分位数回归，但劣于它，因为它假设简单的幂律支配顶部。 实际上，只有数据的下50百分位严格遵循幂律；顶部表现出更复杂的行为。这导致不可靠和夸大的估计。 我希望这个分析能澄清这些方法之间的区别。 总体而言，请记住，泡沫偏差的预测本质上比核心幂律趋势本身更不可预测。幂律仍然是稳健的，并随着数据的增加而增强，作为基础参考。 特定周期的偏差虽然有用，但是次要的，并不是理论的核心——它们依赖于幂律作为背景，并带有更高的不确定性。