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希腊值Delta和Gamma的解释

发布于 2020年2月12日更新于 2024年5月17日阅读时长 6 分钟

期权的风险要素通常通过希腊值来表示,delta和gamma是两个与标的价格有关的希腊值。

在传统的期权框架中,delta、gamma是根据期权定价的BS模型或者Black模型推导出来的,我们称之为BS delta、BS gamma。BS delta衡量的是期权价格相对于标的资产价格变动的变化率,BS gamma衡量的是BS delta相对于标的资产价格变动的变化率。

对于欧易OKX的BTCUSD期权合约,欧易OKX的delta和gamma与传统的不同,它们是根据期权定价Black模型推导、并且经过价格调整(Price-Adjusted)后的结果,我们称之为PA delta、PA gamma。BS delta和PA delta满足如下关系:

PA delta = BS delta – 期权标记价格(以BTC计)

PA delta衡量的是期权价格相对于标的资产价格变动幅度的变化率,PA gamma衡量的是PA delta相对于标的资产价格变动幅度的变化率。下面通过具体的计算案例进一步说明PA delta和BS delta的区别:

假设当前BTCUSD指数价格为7000 USD,某比特币期权的 BS delta=0.6,PA delta = 0.45,那么当BTCUSD上涨105 USD(即上涨1.5%)时,

根据BS delta计算,期权价格将上涨0.6* 105 =63 USD

根据PA delta计算,期权价格将上涨0.45* 1.5% = 0.00675 BTC

即,用BS delta估算期权价格变动时,使用的标的价格变动量是美元数(105 USD);用PA delta估算期权价格变动时,使用的标的价格变动量是变动幅度(1.5%)。

同样可以通过一个计算案例,来说明PA gamma和BS gamma在使用时的区别:

假设当前BTCUSD指数价格为7000 USD,某比特币期权的BS gamma=0.0004,PA gamma = 2.9,那么当BTCUSD上涨105 USD(即上涨1.5%)时,

根据BS gamma计算,BS delta将上涨0.0004 * 105 = 0.042

根据PA gamma计算,PA delta将上涨2.9 * 1.5% = 0.0435

即,用BS gamma估算BS delta变动时,使用的标的资产价格变动量是美元数(105 USD);用PA gamma估算PA delta变动时,使用的标的资产价格变动量是变动幅度(1.5%)。

1、欧易OKX采用PA delta的原因

欧易OKX的delta和gamma计算方式与传统BS delta和gamma不同的根本原因在于,欧易OKX的BTCUSD币本位期权合约不是以USD,而是以BTC作为保证金和交割结算的货币。如果继续以BS delta和BS gamma展示期权的风险,客户在计算对冲头寸时(例如以交割合约来对冲期权的delta风险),会算出错误的对冲比率,这一点在下面会给出对冲效果的实例。

假设当前BTCUSD指数为7000 USD,用户已有10张BTCUSD-200327-20000-P(2020年3月27日到期,执行价格为20000 USD的看跌期权)的买方持仓,想通过持有一些同到期日的交割合约头寸,来对冲delta风险至0。下面两张表给出了该期权合约和交割合约的相关信息。

BTCUSD-200327-20000-P

标记价格

PA delta

BS delta

1.8571 BTC

-2.85702309

-0.99993983

BTCUSD季度0327

标记价格

delta

7000

0.01428571(=100/7000)

PA delta对冲计算出来的交割合约张数为:

vi-explanation-for-greeks-delta-and-gamma image 1

BS delta对冲计算出来的交割合约张数为 :

vi-explanation-for-greeks-delta-and-gamma image 2

其中,张数为正代表买入,张数为负代表卖出。分别形成两个delta对冲组合:

 

BTCUSD-200327-20000-P

BTCUSD季度0327

PA组合

10张

200张

BS组合

10张

70张

假设其他因素不变,当现货指数变动时,两个组合的盈亏状况 (PnL) 如下图所示:

vi-explanation-for-greeks-delta-and-gamma image 3

由此看出,随着现货指数的变动,PA组合的盈亏基本为0,BS组合的盈亏则明显偏离0。也就是说,用BS delta计算出来的是错误的对冲头寸,用PA delta计算出来的才是正确的对冲头寸,根本原因是在币本位保证金期权合约的场景下,BS delta和BS gamma无法真实反映期权的风险,PA delta和PA gamma才更具有指导意义。

注:上述示例是在假设其他因素不变,只有标的指数发生变动的前提下,作出的计算和判断。实际场景中,组合的盈亏会受多种因素影响,例如波动率的变化也会导致盈亏变化。

2、PA delta的取值范围

看涨期权的BS delta取值范围是0~1,看跌期权的BS delta取值范围是-1~0,而PA delta的取值范围与之有所差别。两种delta可以通过一个关系式连结起来:

PA delta = BS delta – 期权标记价格(以BTC计)

根据该关系式,结合BS delta和期权标记价格的特征,可得到PA delta的取值范围。

看涨期权PA delta范围是0~1】当标的价格增加时,看涨期权的价格随之增加,由PA delta的定义可知,PA delta一定大于0。进一步,由PA delta = BS delta–期权标记价格可知,PA delta等于BS delta减去一个正数(期权标记价格恒为正),从而PA delta的上限不会超过BS delta的上限1。

看跌期权PA delta范围是负无穷~0】当标的价格增加时,看跌期权的价格随之降低,由PA delta的定义可知,PA delta一定小于0。当标的价格接近于0时,看跌期权的内在价值(以BTC计)无穷大,故期权标记价格无上限,而BS delta的上限为0,由PA delta = BS delta- 期权标记价格可知,看跌期权的PA delta可小于-1,极端情况下可至负无穷。

注:负无穷指的是非常小的负数,小于任意一个负数。

3、PA gamma的正负性

gamma衡量的是delta随标的价格变动的变化率:如果标的价格增加,delta值也增加,则gamma为正数;如果标的价格增加,delta值减小,则gamma为负数。即,gamma的正负与delta曲线的斜率有关。两种delta的曲线如下图所示:

vi-explanation-for-greeks-delta-and-gamma image 4
vi-explanation-for-greeks-delta-and-gamma image 5

可以看到:

在其他因素不变的条件下,看涨期权的PA delta随着标的价格的增加,先增加后减小,从而PA gamma随着标的价格的增加,先正后负;看涨期权的BS delta随着标的价格的增加而增加,从而看涨期权的BS gamma恒为正数。

在其他因素不变的条件下,看跌期权的PA delta和 BS delta都随标的价格的增加而增加,从而看跌期权的PA gamma和BS gamma都是正数。